欧拉的问题
数学家欧拉提出了这样的一个问题:一头猪卖312银币,一只山羊卖113银币,一只绵羊卖1\/2银币。有人用100个银币买了100头牲畜。问猪、山羊、绵羊各几头?
这题有三组答案,都合题意。
①猪5头,山羊42只,绵羊53只
②猪10头,山羊24只,绵羊66只
③猪15头,山羊6只,绵羊79只
设猪x头,山羊y只,绵羊z只。根据题意可以列出两个方程:
x+y+z=100①
312x+113y+1\/2z=100 ②
把方程乘以2得7x+8\/3y+z=200 ③把③-①消去z:
6x+5\/3y=100
y=60-18\/5x ④
因为牲畜的头数不可能是分数,15x一定是整数:设15x=tx=5t
将x代入④:y=60-18t
将x和y代回①
5t+60-18t+z=100
z=40+13t
因为y是正数,所以y=60-18t>0;而t也是正整数,t只能为1,2,3三个值,所以此题有三组答案:
当t=1时{x=5 y=42 z=53}
当t=2时{x=10 y=24 z=66}
当t=3时{x=15 y=6 z=79}
经过检验,三组解答都符合题意。
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