欧拉的问题

数学家欧拉提出了这样的一个问题:一头猪卖312银币,一只山羊卖113银币,一只绵羊卖1\/2银币。有人用100个银币买了100头牲畜。问猪、山羊、绵羊各几头?

这题有三组答案,都合题意。

①猪5头,山羊42只,绵羊53只

②猪10头,山羊24只,绵羊66只

③猪15头,山羊6只,绵羊79只

设猪x头,山羊y只,绵羊z只。根据题意可以列出两个方程:

x+y+z=100①

312x+113y+1\/2z=100 ②

把方程乘以2得7x+8\/3y+z=200 ③把③-①消去z:

6x+5\/3y=100

y=60-18\/5x ④

因为牲畜的头数不可能是分数,15x一定是整数:设15x=tx=5t

将x代入④:y=60-18t

将x和y代回①

5t+60-18t+z=100

z=40+13t

因为y是正数,所以y=60-18t>0;而t也是正整数,t只能为1,2,3三个值,所以此题有三组答案:

当t=1时{x=5 y=42 z=53}

当t=2时{x=10 y=24 z=66}

当t=3时{x=15 y=6 z=79}

经过检验,三组解答都符合题意。

t下!书!网下%书网